第一课什么是卷积?卷积有什么用?什么是傅利叶变换?什么是拉普拉斯变换?

引子

很多朋友和我一样,工科电子类专业,学了一堆信号方面的课,什么都没学懂,背了公式考了试,然后毕业了。

先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答,"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声,把他拖出去枪毙!)

讲一个故事:

张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员,他没有学过"信号与系统"这门课程。一天,他拿到了一个产品,开发人员告诉他,产品有一个输入端,有一个输出端,有限的输入信号只会产生有限的输出。

然后,经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器),该产品输出什么样的波形。张三照做了,花了一个波形图。

"很好!"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸:"这里有几千种信号,都用公式说明了,输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧!"

这下张三懵了,他在心理想"上帝,帮帮我把,我怎么画出这些波形图呢?"

于是上帝出现了:"张三,你只要做一次测试,就能用数学的方法,画出所有输入波形对应的输出波形"。

上帝接着说:"给产品一个脉冲信号,能量是1焦耳,输出的波形图画出来!"

张三照办了,"然后呢?"

上帝又说,"对于某个输入波形,你想象把它微分成无数个小的脉冲,输入给产品,叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品,每个产生一个小的输出,你画出时序图的时候,输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"

张三领悟了:"哦,输出的结果就积分出来啦!感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"

上帝说:"叫卷积!"

从此,张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果,张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了!

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张三愉快地工作着,直到有一天,平静的生活被打破。

经理拿来了一个小的电子设备,接到示波器上面,对张三说:"看,这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明,而且,它连续不断的发出信号!不过幸好,这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三,你来测试以下,连到我们的设备上,会产生什么输出波形!"

张三摆摆手:"输入信号是无限时长的,难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的,重复的波形输出吗?"

经理怒了:"反正你给我搞定,否则炒鱿鱼!"

张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来,一个很混乱的波形;时间又是无限长的,卷积也不行了,怎么办呢?"

及时地,上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面,计算完成以后再映射回来"

"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡,你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果,也就是若干个可以确定的,有固定频率特性的东西。"

"我给你一个数学函数f,时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"

"同时,时间域的卷积在f域是简单的相乘关系,我可以证明给你看看"

"计算完有限的程序以后,取f(-1)反变换回时间域,你就得到了一个输出波形,剩下的就是你的数学计算了!"

张三谢过了上帝,保住了他的工作。后来他知道了,f域的变换有一个名字,叫做傅利叶,什么什么......

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再后来,公司开发了一种新的电子产品,输出信号是无限时间长度的。这次,张三开始学拉普拉斯了......

后记:

不是我们学的不好,是因为教材不好,老师讲的也不好。

很欣赏Google的面试题:用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好,因为没有深入的理解一个命题,没有仔细的思考一个东西的设计哲学,我们就会陷入细节的泥沼:背公式,数学推导,积分,做题;而没有时间来回答"为什么要这样"。做大学老师的做不到"把厚书读薄"这一点,讲不出哲学层面的道理,一味背书和翻讲ppt,做着枯燥的数学证明,然后责怪"现在的学生一代不如一代",有什么意义吗?

第二课到底什么是频率什么是系统?

这一篇,我展开的说一下傅立叶变换F。注意,傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence),也可以包括其他任何概念,因为它只是一个概念模型,为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号,怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数,信号的输出输出问题看为IO的问题,然后任何难以求解的x->y的问题都可以用x->f(x)->f-1(x)->y来得到。

1、到底什么是频率?

一个基本的假设:任何信息都具有频率方面的特性,音频信号的声音高低,光的频谱,电子震荡的周期,等等,我们抽象出一个件谐振动的概念,数学名称就叫做频率。想象在x-y平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动,把x轴想象成时间,那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这个。

那么,不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快,sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式:

(a)老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的,当我们快放的时候,我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的,调子很高,那是因为"圆周运动"的速度增倍了,每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。

(b)在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱,不会出现音调变高的现象:因为快放的时候采用了时域采样的方法,丢弃了一些波形,但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化;满放时相反,时域信号填充拉长就可以了。

2、F变换得到的结果有负数/复数部分,有什么物理意义吗?

解释:F变换是个数学工具,不具有直接的物理意义,负数/复数的存在只是为了计算的完整性。

3、信号与系统这们课的基本主旨是什么?

对于通信和电子类的学生来说,很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物理层技术,这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性,通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号,广域网光线传出高频调制信号,移动通信,2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质(空气,电线,光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢?那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时,知道了介质的频率特性,如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。

当然,信号与系统的应用不止这些,和香农的信息理论挂钩,它还可以用于信息处理(声音,图像),模式识别,智能控制等领域。如果说,计算机专业的课程是数据表达的逻辑模型,那么信号与系统建立的就是更底层的,代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错,而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的,那我依据什么来判断这个是1还是0?逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域,计算机的应用前提是各种数模转换,那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度,电阻,大小,压力,速度等)如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号,首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。

4、如何设计系统?

设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态),有输入,有输出,而中间的处理过程和具体的物理实现相关,不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加,具体的过程就是一大堆微积分的东西,具体的数**算不是这门课的中心思想。

那么系统有那些种类呢?

(a)按功能分类:调制解调(信号抽样和重构),叠加,滤波,功放,相位调整,信号时钟同步,负反馈锁相环,以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统流程图,是不是很接近编写程序的逻辑流程图?确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。
(b)按系统类别划分,无状态系统,有限状态机,线性系统等。而物理层的连续系统函数,是一种复杂的线性系统。

5、最好的教材?

符号系统的核心是集合论,不是微积分,没有集合论构造出来的系统,实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统,最好的教材之一就是<<StructureandInterpretationofSignalsandSystems>>,作者是UCBerkeley的EdwardA.LeeandPravinVaraiya----先定义再实现,符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导,就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的,用来得到什么,建设什么,防止什么;不去从认识论和需求上讨论,通篇都是看不出目的的方**,本末倒置了。

第三课抽样定理是干什么的

1.举个例子,打电话的时候,电话机发出的信号是PAM脉冲调幅,在电话线路上传的不是话音,而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列,在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号,如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真,可以传输呢?很明显,我们想到的就是取样,每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅,把振幅转换为脉冲编码,传输出去,在收端按某种规则重新生成语言。

那么,问题来了,每M毫秒采样一次,M多小是足够的?在收端怎么才能恢复语言波形呢?

对于第一个问题,我们考虑,语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开,非周期的区间函数,可以看成补齐以后的周期信号展开,效果一样),对于最高频率的信号分量,如果抽样方式能否保证恢复这个分量,那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz,那么高频分量我们看成sin(3000t),这个sin函数要通过抽样保存信息,可以看为:对于一个周期,波峰采样一次,波谷采样一次,也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理),我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应,互相等价。

对于第二个问题,在收端,怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢?首先,我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息,但是原始信息只在某一个频率以下存在,怎么做?我们让输入脉冲信号I通过一个设备X,输出信号为原始的语音O,那么I(*)X=O,这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析,那么在频率域F(I)*F(X)=F(O)相乘关系,这下就很明显了,只要F(X)是一个理想的,低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框),它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分,所以实际中不存在),做出这样的一个信号处理设备,我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中,我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点,3k赫兹的语音信号,抽样标准是8k赫兹。

2.再举一个例子,对于数字图像,抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大,图片的分辨率越高,也就越清晰。如果我们的抽样频率不够,信息就会发生混叠----网上有一幅图片,近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦,摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛,分辨率不够(抽样频率太低),高频分量失真被混入了低频分量,才造成了一个视觉陷阱。在这里,图像的F变化,对应的是空间频率。

话说回来了,直接在信道上传原始语音信号不好吗?模拟信号没有抗干扰能力,没有纠错能力,抽样得到的信号,有了数字特性,传输性能更佳。

什么信号不能理想抽样?时域有跳变,频域无穷宽,例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它,相当于复利叶级数取了部分和,而这个部分和在恢复原始信号的时候,在不可导的点上面会有毛刺,也叫吉布斯现象。

3.为什么傅立叶想出了这么一个级数来?这个源于西方哲学和科学的基本思想:正交分析方法。例如研究一个立体形状,我们使用x,y,z三个互相正交的轴:任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话,一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理,信号怎么分解和分析呢?用互相正交的三角函数分量的无限和:这就是傅立叶的贡献。

入门第四课傅立叶变换的复数小波

说的广义一点,"复数"是一个"概念",不是一种客观存在。

什么是"概念"?一张纸有几个面?两个,这里"面"是一个概念,一个主观对客观存在的认知,就像"大"和"小"的概念一样,只对人的意识有意义,对客观存在本身没有意义(康德:纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接,变成"莫比乌斯圈",这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工,反映到意识中的东西。

数的概念是这样被推广的:什么数x使得x^2=-1?实数轴显然不行,(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间,它既包括真实世界的实数,也能包括想象出来的x^2=-1,那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1?+-符号在复数域里面代表方向,-1就是"向后,转!"这样的命令,一个1在圆周运动180度以后变成了-1,这里,直线的数轴和圆周旋转,在复数的空间里面被统一了。

因此,(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢?很简单,"向左转","向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素,所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显,我们可以得到复数域乘法的一个特性,就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘,旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质?不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识),而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质),是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1,我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合:乘积和角度旋转。

因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影,所以,在复数域,三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手,立刻可以得到形式更简单的,复数域的,和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单,所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数,但是由于和实数域的级数一一对应,我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。

那么傅立叶变换,那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢?我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分,就是先微分,再积分,傅立叶级数已经作了无限微分了,对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题,想象这个非周期信号也是一个周期信号:只是周期为无穷大,各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数,每个分量常数的求解过程,积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小,那么让每个分量都去除以f,就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理,各个频率分量之间无限的接近,因为f很小,级数中的f,2f,3f之间几乎是挨着的,最后挨到了一起,和卷积一样,这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式:傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化:离散的频率,每个频率都有一个"权"值,而连续的F域,每个频率的加权值都是无穷小(面积=0),只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。

因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数,是复数频率域上面的可以画出图像的东西?那个根号2Pai又是什么?它只是为了保证正变换反变换回来以后,信号不变。我们可以让正变换除以2,让反变换除以Pi,怎么都行。慢点,怎么有"负数"的部分,还是那句话,是数轴的方向对应复数轴的旋转,或者对应三角函数的相位分量,这样说就很好理解了。有什么好处?我们忽略相位,只研究"振幅"因素,就能看到实数频率域内的频率特性了。

我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)->实数,看起来很复杂,但是这个工具使得,单从实数域无法解决的频率分析问题,变得可以解决了。两者之间的关系是:傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn,这些离散的数表示频率特性,每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数:对于f域每个取值点a1-aN(N=无穷),它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的,连续的积分式子。

复频域,大家都说画不出来,但是我来画一下!因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:

1.画一个x,y轴组成的平面,以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线:(直线方程x=2),把它看成是一块挡板。

2.想象,有一个原子,从(1,0)点出发,沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x轴的复数方向射向x轴的正数方向,那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影,就是一个简协震动。

3.再修改一下,x=2对应的不是一个挡板,而是一个打印机的出纸口,那么,原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!

上面3条说明了什么呢?三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x),或者cos(t)这种形式,我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了:也就是级坐标的向量,半径不变,相位改变。

傅立叶级数的实数展开形式,每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt),我们可以证明,这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式,那么:实数值对(An,Bn),就对应了二维平面上面的一个点,相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了,因此实数频率唯一对应某个复数频率,我们就可以用复数来方便的研究实数的运算:把三角运算变成指数和乘法加法运算。

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但是,F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等),为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息,我们就发明出了拉普拉斯变换,它的连续形式对应F变换,离散形式就成了Z变换。离散信号呢?离散周期函数的F级数,项数有限,离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数),离散F级数,仍然项数有限。离散的F变换,很容易理解----连续信号通过一个周期采样滤波器,也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么?反过来容易理解了,时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。

两者的区别:FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分(由于实际应用,通常只做单边Laplace变换,即积分从零开始)具体地,在Fourier积分变换中,所乘因子为exp(-jwt),此处,-jwt显然是为一纯虚数;而在laplace变换中,所乘因子为exp(-st),其中s为一复数:s=D+jw,jw是为虚部,相当于Fourier变换中的jwt,而D则是实部,作为衰减因子,这样就能将许多无法作Fourier变换的函数(比如exp(at),a>0)做域变换。

而Z变换,简单地说,就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换,可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT[f(n)]=从n为负无穷到正无穷对[f(n)Z^(-n)]求和。Z域的物理意义:由于值被离散了,所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义),所以频域的考察变得及其简单起来,我们把(1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列,他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi),其他的数字序列频率都是N分之1Hz,频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合,也是一堆离散的数。由于时频都是离散的,所以在做变换的时候,不需要写出冲击函数的因子。

离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2),于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换,变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN),再把计算的结果累加O(N),这就大大降低了计算复杂度。

再说一个高级话题:小波。在实际的工程应用中,前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。

什么是小波?先说什么是波:傅立叶级数里面的分量,sin/cos函数就是波,sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧,变成了一系列的波的求和,一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的,严格的。不过前面我们说了,实际应用FFT的时候,我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了,那么对于函数的部分分量,我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数",在某个区间(用窗函数来滤波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了,因此傅立叶变换的"波"因子,就可以不使用三角函数,而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族,只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢?sin(t)被加了方形窗以后,映射到频域是一堆无穷的散列脉冲,所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族,能覆盖频率域的低端部分。说的远一点,如果是取数字信号的小波变换,那么基础小波要保证数字角频率是最大的2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法,不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量,也不是向傅立叶变换那样看频谱特性,而是做某种滤波,看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。

我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性,那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数,时域就是钟形函数。当然其他类型的小波,虽然频率域不是窗函数,但是仍然可用:因为小波积分求出来的变换,是一个值,例如(0,f)里包含的总能量值,(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形,对于结果来说影响不大。同时,这个频率域的值,它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽,时域宽频域紧),所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波:因为时频都是局部的,变换结果是数值点而不是向量,所以,计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N),性能非常好。

用中文说了这么多,基本的思想已经表达清楚了,为了"研究方便",从实数傅立叶级数展开,到创造了复数域的傅立叶级数展开,再到傅立叶变换,再扩展到拉式变换,再为了时频都离散的情况简化为Z变换,全部都用一根主线联系起来了。

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围观 173

先来想象一下,您的家里配备了各种各样的的传感器,它们时刻测量着空气质量、温度、噪声、光照、气压……并可以根据您的健康设备上的个人健康信息,调整相关环境参数实时优化您的家居环境,这就是,未来的美好生活!

当所有健康信息都被传感器远程记录和监测时,其中心率(HR)监测是许多现有可穿戴产品和临床设备的关键特性。这些设备一般测量光电容积脉搏波(PPG)信号,为获得该信号,须利用 LED 照射人体皮肤,然后用光电二极管测量血流引起的反射光强度变化。

什么是 PPG

PPG 信号形态与动脉血压(ABP)波形相似,这使得该信号成为受科学界欢迎的非侵入性心率监测工具。PPG信号的周期性与心脏节律相对应。因此,可以根据PPG信号估算心率。然而,受血液灌流不良、环境光线以及最重要的运动伪像(MA)的影响,心率估算性能会降低。

业界已提出许多信号处理技术来消除MA噪声,包括 ADI 的运动抑制和频率跟踪算法——通过使用一个靠近PPG传感器放置的三轴加速度传感器来实现。当没有运动时,最好能有一个按需算法来向跟踪算法提供快速且更精确的心率估算。

今天分享的内容改造了多信号分类(MUSIC)频率估计算法,以利用 ADI 医疗健康手表平台,根据手腕上的PPG信号实现高精度按需心率估算,图1所示为其框图。

“图1.
图1. 利用腕上PPG信号的基于MUSIC的按需心率估计算法

ADI 医疗健康手表提供的 PPG 信号

当LED发光时,血液和组织会吸收不同数量的光子,导致光电检测器检测到不同的结果。光电检测器测量血液脉动的变化并输出一个电流,该电流随后经放大和滤波以供进一步分析。 图2a显示了一个由交流(ac)和直流(dc)分量组成的一般PPG信号。PPG波形的直流分量检测组织、骨骼和肌肉反射的光信号,以及动脉和静脉血液的平均血容量。交流分量则表示心动周期的收缩期和舒张期之间发生的血容量变化,交流分量的基频取决于心率。

“图2a.
图2a. 含交流和直流部分的典型PPG信号

图2b是来自 ADPD107 手表的PPG信号。ADI 多感知手表的目标是测量人体手腕上的多项生命体征。ADI 手表有PPG、心电图(ECG)、皮肤电活动(EDA)、加速度(ACC)和温度传感器。ps.本文仅关注PPG和ACC传感器。

“图2b.
图2b. ADI医疗保健手表PPG信号

PPG和ABP波形的相似之处

ABP 波形是由于左心室射出血液造成的。主压力沿全身血管网流动并到达多个部位,动脉阻力和顺应性的显著变化引起反射。第一个部位是胸主动脉和腹主动脉之间的接合处,其引起第一次反射,通常称为收缩晚期波。第二个反射部位是腹主动脉和髂总动脉之间的接合处。主波被再次反射回来,产生一个很小的下降,称为重搏切迹,这可以在第一次和第二次反射之间观察到。还有其他较小的反射,这些反射在PPG信号中被平滑掉。本文的重点是心率估计,其仅取决于PPG信号的周期性,此算法不考虑PPG的确切形态。

PPG 信号预处理

PPG 信号易受周边组织的不良血液灌流和运动伪像的影响是众所周知的。为将这些因素的影响降至最小,以免干扰随后的PPG分析和心率估计,须有一个预处理阶段。需要一个带通滤波器来消除PPG信号的高频成分(如电源)和低频成分(如毛细血管密度和静脉血容量的变化、温度变化等等)。

图3a显示了滤波之后的PPG信号。使用一组信号质量指标来找到适合于按需算法的PPG信号第一个窗口。第一次检查涉及ACC数据和PPG信号,以确定是否能检测到一段无运动的数据,然后衡量其他信号质量指标。如果三个方向上存在高于ACC数据绝对值的特定阈值的运动,则按需算法会拒绝根据这样的数据窗口进行估计。下一信号质量检查是基于数据段特征的某种自相关。

“图3a.
图3a. 经过带通滤波的图1b中PPG信号

图3b显示了经滤波的PPG信号的一个自相关例子。可接受信号段的自相关表现出如下特性:具有至少一个局部峰值,并且对应于最高可能心率的峰值不超过某一数量;局部峰值从高到低递减,间隔时间递增;以及其他一些特性。仅计算与有意义的心率(位于30 bpm到220 bpm范围内)相对应的间隔时间的自相关。

“图3b.
图3b. 图2a中信号图的自相关

当有足够的数据段连续通过质量检查时,算法的第二阶段就会使用基于MUSIC的算法算出准确的心率。

基于 MUSIC 的按需心率估计算法

MUSIC是一种基于子空间的方法,使用谐波信号模型,可以高精度地估算频率。对于受到噪声破坏的PPG信号,傅立叶变换(FT)可能表现不佳,因为我们需要的是高分辨率心率估计算法。此外,FT将时域噪声均匀分布到整个频域中,限制了估算的确定性。使用FT很难在较大峰值附近观察到较小峰值。因此,在本研究中,我们使用基于MUSIC的算法进行心率的频率估计。MUSIC背后的关键思想是噪声子空间与信号子空间正交,所以噪声子空间的零点会指示信号频率。

下面的步骤是这种心率估计算法的总结:

从数据中删除平均和线性趋势

计算数据的协方差矩阵

对协方差矩阵应用奇异值分解(SVD)

计算信号子空间阶数

形成信号或噪声子空间的伪谱

找出MUSIC伪谱的峰值作为心率估计值

MUSIC必须应用奇异值分解,并且必须在整个频率范围内搜索频谱峰值。我们来看一些数学算式,以使上述步骤更清晰。假设经滤波的PPG信号有一个长度为m的窗口,表示为xm且m≤L(其中L为给定窗口中经滤波PPG信号的总样本数)。那么,第一步是形成样本协方差矩阵,如下所示:

“”

然后对样本协方差矩阵应用SVD,如下所示:

“”

其中,U为协方差矩阵的左特征向量,Λ为特征值的对角矩阵,V为右特征向量。下标s和n分别代表信号和噪声子空间。正如之前提到的,使用信号已经通过信号质量检查阶段的先备知识,对基于MUSIC的算法进行修改以用于心率估计,因此预处理步骤之后,信号中唯一存在的频率成分是心率频率。接下来形成信号和噪声子空间,假设模型阶数只包含一个单音,如下所示:

“”

其中p = 2为模型数。仅考虑有意义心率限值内的频率。这会大 大减少计算量,使嵌入式算法的实时实现成为可能。搜索频率 向量定义为:

“”

其中,k为心率目标频率范围内的频点,L为xm(t)中数据的窗口长度。然后,下面的伪谱使用噪声子空间特征向量找出MUSIC的峰值,如下所示。

“”

这里使用伪谱一词,是因为它表明所研究信号中存在正弦分量,但它不是一个真正的功率谱密度。图4显示了基于MUSIC的算法处理5秒数据窗口得到的示例结果,在1.96 Hz处有一个很陡的峰值,换算为心率是117.6 bpm。

“图4.
图4. 使用PPG数据的基于MUSIC估计的一个示例

基于MUSIC的按需心率估计算法的结果

我们已经在一个包含1289个测试案例(data1)的数据集上测试了该算法的性能,并且在数据开始时,测试对象被要求静止。表1给出了基于MUSIC算法的结果,并指出估计的心率是否在参考(ECG)的 2 bpm 和 5 bpm 精度范围内,以及估计时间的第50百分位数(中值)和第75百分位数。

表1中的第二行显示了对于一个包含298个测试案例(data2)的数据集,存在周期性运动(如步行、慢跑、跑步)时该算法的性能。通过检测运动,如果任一数据被视为不可靠而遭到拒绝,或者是认为不受运动影响而精确估算得到心率,则认为该算法是成功的。在内存使用方面,假设缓冲区大小为500(即100 Hz时为5秒),对于目标频率范围(30 bpm至220 bpm),所需总内存约为3.4 kB,每次调用花费2.83周期。

表1. 基于MUSIC的按需心率估计算法的性能数值

“”

结语

基于 MUSIC 的按需算法是 ADI 公司医疗保健业务部门生命体征监测小组提出的众多算法之一。在医疗健康手表中使用的按需算法与这里讨论的基于 MUSIC 的方法不同,前者的计算成本较低。

ADI 为传感器(嵌入式)和边缘节点提供软件和算法功能,使其从数据中获取有价值的信息,仅将最重要的数据发送到云端,让我们的客户和合作伙伴可以在本地做出决策。我们选择应用的标准是,其成果对于我们的客户来说非常重要,并且我们拥有独特的测量专业技术。

本文只是对ADI 研发的算法的简单介绍,凭借在传感器设计方面的现有专业知识,以及在生物医学算法开发(包括嵌入式和云计算)方面的努力,ADI 将拥有独特的优势来为全球医疗健康市场提供最先进的算法和软件。

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围观 82

学习信号时域和频域、快速傅立叶变换(FFT)、加窗,以及如何通过这些操作来加深对信号的认识。

理解时域、频域、FFT

傅立叶变换有助于理解常见的信号,以及如何辨别信号中的错误。尽管傅立叶变换是一个复杂的数学函数,但是通过一个测量信号来理解傅立叶变换的概念并不复杂。从根本上说,傅立叶变换将一个信号分解为不同幅值和频率的正弦波。我们继续来分析这句话的意义所在。

所有信号都是若干正弦波的和

我们通常把一个实际信号看作是根据时间变化的电压值。这是从时域的角度来观察信号。

傅立叶定律指出,任意波形在时域中都可以由若干个正弦波和余弦波的加权和来表示。例如,有两个正弦波,其中一个的频率是另一个的3倍。将两个正弦波相加,就得到了一个不同的信号。

“”

“图1
图1 两个信号相加,得到一个新的信号

假设第二号波形幅值也是第一个波形的1/3。此时,只有波峰受影响。

“”
“图2
图2 信号相加时调整幅值影响波峰

假加上一个幅值和频率只有原信号1/5的信号。按这种方式一直加,直到触碰到噪声边界,您可能会认出结果波形。

“”
“图3
图3 方波是若干正弦波的和

您创建了一个方波。通过这种方法,所有时域中的信号都可表示为一组正弦波。

即使可以通过这种方法构造信号,那意味着什么呢? 因为可以通过正弦波构造信号,同理也可以将信号分解为正弦波。

一旦信号被分解,可查看和分析原信号中不同频率的信号。请参考信号分解的下列使用实例:

● 分解广播信号,可选择要收听的特定频率(电台)。

● 将声频信号分解为不同频率的信号(例如,低音、高音),可增强特定频段,移除噪声。

● 根据速度和强度分解地震波形,可优化楼宇设计,避免强烈震动。

● 分解计算机数据时,可忽略频率重要性最低的数据,这样就能更紧凑地利用内存。这就是文件压缩的原理。

使用FFT分解信号

傅立叶变换将一个时域信号转换为频域信号。频域信号显示了不同频率对应的电压。 频域是另一种观察信号的角度。

数字化仪对波形进行采样,然后将采样转换为离散的值。因为发生了转换,傅立叶转换在这些数据上无法进行。 可使用离散傅立叶变换(DFT),其结果是离散形式的频域信号。FFT是DFT的一种优化实现,计算量较少,但是本质上是对信号的分解。

请查看上图1中的信号。有两个频率不同的信号。在该情况下,频域中就会显示两条表示不同频率的竖线。

“图4
图4 当相同幅值的两个正弦波相加,在频域中就显示为两条频率竖线

原信号的幅值在竖轴上表示。图2中有个不同幅值的信号。频域中最高的竖线对应于最高电压的正弦信号。在频域里观察信号,可直观地看出最高电压发生在哪个频率上。

“图5
图5 最高的竖线是幅值最大的频率

在频域里也可观察到信号的形状。例如,频域中方波信号的形状。使用不同频率的正弦波创建一个方波。即可预见,在频域中,这些信号都会被表示为一根竖线,每一根竖线都表示组成方波的正弦波。如频域中,竖线显示为一个梯度,就可知道原信号是一个方波信号。

“图6
图6 频域中表示正弦波的竖线呈现为一个梯度

现实生活中,情况是怎样的呢? 许多混合信号示波器(MSO)都有FFT功能。下图中,你可以观察到混合信号图中,方波FFT是如何显示的。放大后可观察到频域中的尖峰。

“”

“图7
图7 上图为原正弦波和FFT,下图是放大的FFT,可观察到表示频率的尖峰

在频域中观察信号有助于验证和发现信号中的问题。例如,假设有一个输出正弦波的电路。可在示波器上查看时域输出信号,如图8所示。看上去没有任何问题!

“图8
图8 如果将两个很相似的波形相加,仍然会得到一个完美的正弦波

在频域中查看信号时,如果输出的正弦波频率稳定,应该只在频率中显示为一条竖线。但是,可以看到在更高的频率上仍然有一条竖线,表示正弦波并不如观察到的那么完美。可尝试优化电路,去除特定频率的噪声。在频域中显示信号有助于发现信号中的干扰、噪声和抖动。

“图9
图9 查看图8中看似完美的正弦波,可以看出波形中有一个抖动

信号加窗

FFT提供了观察信号的新视角,但是FFT也有各种限制,可通过加窗增加信号的清晰度。

什么是加窗?

使用FFT分析信号的频率成分时,分析的是有限的数据集合。FFT认为波形是一组有限数据的集合,一个连续的波形是由若干段小波形组成的。对于FFT而言,时域和频域都是环形的拓扑结构。时间上,波形的前后两个端点是相连的。如测量的信号是周期信号,采集时间内刚好有整数个周期,那么FFT的上述假设合理。

“”

“图10
图10 测量整数个周期(上图)可以得到理想的FFT(下图)

在很多情况下,并不能测量到整数个周期。因此,测量到的信号就会被从周期中间切断,与时间连续的原信号显示出不同的特征。有限数据采样会使测量信号产生剧烈的变化。 这种剧烈的变化称为不连续性。

采集到的周期为非整数时,端点是不连续的。这些不连续片段在FFT中显示为高频成分。这些高频成分不存在于原信号中。这些频率可能远高于奈奎斯特频率,在0~采样率的一半的频率区间内产生混叠。使用FFT获得的频率,不是原信号的实际频率,而是一个改变过的频率。类似于某个频率的能量泄漏至其他频率。这种现象叫做频谱泄漏。频率泄漏使好的频谱线扩散到更宽的信号范围中。

“”

“图11
图11 测量非整数个周期(上图)将频谱泄漏添加至FFT(下图)

可通过加窗来尽可能减少在非整数个周期上进行FFT产生的误差。数字化仪采集到的有限序列的边界会呈现不连续性。加窗可减少这些不连续部分的幅值。加窗包括将时间记录乘以有限长度的窗,窗的幅值逐渐变小,在边沿处为0。加窗的结果是尽可能呈现出一个连续的波形,减少剧烈的变化。这种方法也叫应用一个加窗。

“”

“图12
图12 加窗可尽可能减少频谱泄漏

加窗函数

根据信号的不同,可选择不同类型的加窗函数。要理解窗对信号频率产生怎样的影响,就要先理解窗的频率特性。

窗的波形图显示了窗本身为一个连续的频谱,有一个主瓣,若干旁瓣。主瓣是时域信号频率成分的中央,旁瓣接近于0。旁瓣的高度显示了加窗函数对于主瓣周围频率的影响。对强正弦信号的旁瓣响应可能会超过对较近的弱正弦信号主瓣响应。

一般而言,低旁瓣会减少FFT的泄漏,但是增加主瓣的带宽。旁瓣的跌落速率是旁瓣峰值的渐进衰减速率。增加旁瓣的跌落速率,可减少频谱泄漏。

选择加窗函数并非易事。每一种加窗函数都有其特征和适用范围。要选择加窗函数,必须先估计信号的频率成分。

● 如果您的信号具有强干扰频率分量,与感兴趣分量相距较远,那么就应选择具有高旁瓣下降率的平滑窗。

● 如果您的信号具有强干扰频率分量,与感兴趣分量相距较近,那么就应选择具有低最大旁瓣的窗。

● 如果感兴趣频率包含两种或多种很距离很近的信号,这时频谱分辨率就非常重要。 在这种情况下,最好选用具有窄主瓣的平滑窗。

● 如果一个频率成分的幅值精度比信号成分在某个频率区间内精确位置更重要,选择宽主瓣的窗。

● 如信号频谱较平或频率成分较宽,使用统一窗,或不使用窗。

● 总之,Hanning窗适用于95%的情况。 它不仅具有较好的频率分辨率,还可减少频谱泄露。如果您不知道信号特征但是又想使用平滑窗,那么就选择Hanning窗。

即使不使用任何窗,信号也会与高度一致的长方形窗进行卷积运算。本质上相当于对时域输入信号进行截屏,对离散信号也有效。该卷积有一个正弦波函数特性的频谱。基于该原因,没有窗叫做统一窗或长方形窗。

Hamming窗和Hanning窗都有正弦波的外形。两个窗都会产生宽波峰低旁瓣的结果。Hanning窗在窗口的两端都为0,杜绝了所有不连续性。Hamming窗的窗口两端不为0,信号中仍然会呈现不连续性。Hamming窗擅长减少最近的旁瓣,但是不擅长减少其他旁瓣。Hamming窗和Hanning适用于对频率精度要求较高对旁瓣要求较低的噪声测量。

“”

“图13
图13 Hamming和Hanning都会产生宽波峰低旁瓣的结果

Blackman-Harris窗类似于Hamming和Hanning窗。得到的频谱有较宽的波峰,旁瓣有压缩。该窗主要有两种类型。4阶Blackman-Harris是一种通用窗,在高90s dB处具有旁瓣抑制功能,有较宽的主瓣。7阶Blackman-Harris窗函数有宽广的动态范围,有较宽的主瓣。

“”

“图14
图14 Blackman-Harris窗的结果是较宽的波峰,旁瓣有压缩

Kaiser-Bessel窗在幅值精度、旁瓣距离和旁瓣高度之间取得了较好的平衡。Kaiser-Bessel窗与Blackman-Harris窗类似,对于相同的主瓣宽度而言,较近的旁瓣更高,较远的旁瓣更低。选择该窗通常会将信号泄漏至离噪声较近的位置。

Flat top窗也是一个正弦波,穿过0线。Flat top窗的结果是在频域中产生一个显著宽广的波峰,与其他窗相比离信号的实际幅值更近。

“”

“图15
图15 Flat top窗具有更精确的幅值信息

上面列举了几种常见的窗函数。 选择窗函数并没有一个通行的方法。下表可帮助您做出初步选择。请始终比较窗函数的性能,从而找到最适合的一种窗函数。

“”

总结

● 所有时域中的信号都可表示为一组正弦波。

● FFT变换将一个时域信号分解为在频域中表示,并分析信号中的不同频率成分。

● 在频域中显示信号有助于发现信号中的干扰、噪声和抖动。

● 信号中如果包含非整数个周期,会发生频率泄漏。可通过加窗来改善该情况。

● 数字化仪采集到的有限序列的边界会呈现不连续性。加窗可减少这些不连续部分的幅值。

● 没有窗叫做统一窗或长方形窗,因为加窗效果仍然存在。

● 一般情况下,Hanning窗适用于95%的情况。它不仅具有较好的频率分辨率,还可减少频谱泄露。

● 请始终比较窗函数的性能,从而找到最适合的一种窗函数。

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围观 36

前言

每个电路都有一定的噪声,这些噪声会影响模拟和数字电路的性能。有些噪声来自外部干扰,有些噪声则由热效应等随机因素引起。随机产生的噪声要比已知来源的噪声更难以表征,因为没有哪次测量提供了关于上一次或下一次测量的任何信息。这种过程只能通过对许多事件的多次测量、并用下次某个具体事件的概率来描述。许多数字示波器提供的工具可以用来表征噪声。一旦了解了噪声的特征,就有办法减轻噪声。

要用数字示波器分析诸如电气噪声等随机信号,就需要能够提供随机过程多个视图的工具。图1是多维示波器工具的预览图。

“图1”
图1:左上图是带宽受限的高斯噪声的时域图,左下图是功率谱密度,是带宽受限噪声的频域图;右面的柱状图是带宽受限噪声的统计图。这三个视图都因采用了有助于对测量进行量化的测量参数而得到增强。

显示在图1左上部分的曲线是带宽受限的高斯噪声的时域图。我们在整篇文章中引用的都是这个信号。下面的曲线显示的是频域中的噪声:信号的功率谱密度(PSD)显示了每赫兹的噪声功率与频率的关系。右图是带宽受限噪声的柱状图,通过近似随机过程的概率密度函数(PDF)提供统计视图。这些曲线的下方显示了一系列的测量参数,用于量化通过数学计算得到的波形。下面我们将详细了解每种测量技术,看看每种方法能够呈现带宽受限噪声信号哪些内容。

1、噪声或抖动

噪声和抖动是相互关联的。噪声是叠加到有用信号上的不想要的垂直信号分量;抖动是信号时序发生了不想要的变化。噪声信号被施加到诸如逻辑门这样的阈值比较器上时就变成了抖动。由垂直噪声引起的幅度变化会使输出早于或晚于阈值交越的理想时序。用于测量噪声的工具和过程同样可用于测量抖动。

对于接到示波器输入通道的信号可以直接进行噪声测量,抖动测量则是基于时序测量,比如时间间隔误差(TIE)、周期或占空比。对输入信号开展的这些时序测量都是一个周期一个周期进行的。使用称为轨迹或时间轨迹的数学函数,可以将测量结果按时间绘制出来。这种轨迹函数就是随后用于抖动测量的输入信号。

2、时域

测量参数可以应用于图2中的噪声波形,以深入了解这种噪声信号的特性。图中显示的参数有平均值、标准偏差和峰峰值。显示器下方显示了读取的参数值。

“图2:带宽受限噪声信号的时域图。参数值显示了基本测量、平均值、标准偏差或交流均方根、峰峰值。”
图2:带宽受限噪声信号的时域图。参数值显示了基本测量、平均值、标准偏差或交流均方根、峰峰值。

参数标记在随机波形上,图形化显示了测量结果。标准偏差也可以被称为交流耦合的均方根(rms)值,因为它描述了波形的有效幅度,因此也许是最有用的。平均值是指信号的平均值,采集过程中出现的最大和最小幅度之差则用峰峰值表示。除了读取指定采集过程的所选参数,示波器还可以计算和显示多次采集后每种参数的累积统计结果,提供每种参数的均值、最大值、最小值和标准偏差。

2.1、柱状图:统计域视图

随机过程最好是在统计域中用柱状图进行描述。图3显示了上述带宽受限的噪声信号的柱状图及源波形。这张柱状图将满刻度电压范围分为5000份,并计算落在每一范围内的采样值数量。垂直轴是每一范围内的样本数量,正比于该值发生的概率,水平轴是幅度值,本例中是电压值。

带宽受限噪声信号的柱状图是经典的贝尔曲线,具有高斯或正常概率密度函数的特征。如果知道波形的方差(标准偏差的平方)和均值,就可以完整地描述概率密度函数。另外要注意,这种分布围绕均值呈对称特性。

“图3:带宽受限噪声信号的柱状图呈现出典型的高斯贝尔形状的响应。柱状图参数读取柱状图均值、标准偏差和范围。”
图3:带宽受限噪声信号的柱状图呈现出典型的高斯贝尔形状的响应。柱状图参数读取柱状图均值、标准偏差和范围。

测量参数也可以应用于柱状图。在这个例子中是柱状图均值(hmean)、标准偏差(hstdev)和范围(hrange)。注意,这些读数与前面测量时间波形得到的均值、标准偏差和峰峰值非常接近,两者之间很小的差别是对柱状图样本的“分割”造成的。

高斯分布围绕均值呈对称特性,随着幅度远离均值,幅度值的概率会下降。虽然极端幅度(称为尾巴)发生的概率很低,但仍然是可能发生的。极端幅度不会到零意味着高斯分布是没有边界的。只要有足够多的样本,很大幅度的样本也是有可能出现的。图4显示了一些典型的概率密度函数。高斯分布是最上面那个图形。

“图4:包括高斯、瑞利、均匀和正弦在内的一组概率密度函数。”
图4:包括高斯、瑞利、均匀和正弦在内的一组概率密度函数。

从上往下数第二张图是瑞利分布。这是一种不对称的分布,是将高斯分布噪声施加到峰值检测器造成的。这种分布表明概率密度函数不需要是对称的。

从上至下数第三张图是一种均匀分布。这种分布出现在时序测量中,比如触发事件和示波器采样第一个样本之间的时间。在均匀分布中,所有样值都具有相同的概率。这种分布是有边界的。

最底下那张图显示的是同样具有边界约束的正弦分布。这种分布呈马鞍形状,最大概率发生在幅度极值点(最大和最小值点)。

在许多应用中,两个或多个随机过程可能发生交互。当这种情况发生时,过程的概率密度会进行数学卷积运算。一个常见的例子是结合了随机和确定性抖动分量的时序抖动。图5显示了结合在一起的高斯和正弦分量,源分布位于上面两张图,从上往下数的第三张分布图是两个源卷积的结果。许多先进的示波器提供可选的抖动或噪声分析包,这些分析包可以将这些组合式分布分开,单独测量分量。

“图5:当高斯和正弦分布组合在一起时形成的概率密度函数是两个源概率密度函数的卷积。”
图5:当高斯和正弦分布组合在一起时形成的概率密度函数是两个源概率密度函数的卷积。

3、频域分析

单位频率上的功率(即功率谱密度PSD)是最常见的频域噪声分析工具。图6给出了一个例子,上部是带宽受限高斯噪声的时域图,下部是带宽受限噪声的功率谱密度。

“”

本例中功率谱密度的测量单位是V2/Hz。这条曲线是用示波器的快速傅里叶变换(FFT)计算出来的,选用的是输出类型幅度平方而不是默认的分贝(dBm)刻度。除了输出类型,我们还选择了矩形加权和最小素因数FFT。这种FFT可以报告分辨率带宽Δf,在本例中是100kHz,以及加权函数的有效噪声带宽(ENBW),针对矩形加权的值为1.000。

为了计算功率谱密度,平均后的FFT输出必须被归一化为有效FFT带宽。此外,这个示波器的FFT输出经校准可读取峰值而不是均方根值。为了转换回均方根值,FFT幅度值必须乘上0.707,幅度平方值必须乘上0.5。必须使用Rescale数学函数将FFT值除以FFT的有效带宽才能将该值归一化为单位带宽(1Hz)。Rescale函数可以通过一个乘数因子并加减偏移量重新调整数值。在我们这个例子中,乘数是0.5/100E3 = 5E-6。乘数因子0.5在前面已经讨论过。另外一个因子是有效FFT带宽的倒数,是分辨率带宽乘以等效噪声带宽(ENBW)。如果选择了矩形以外的加权函数,ENBW将是大于1的值。Rescale函数还能改变单位,在本例中单位被设为V2/Hz。你可能已经注意到,再构造数学函数也已经用于将浮点FFT输出的映射优化进参数测量中使用的整数数学空间。

参数P2测量时域波形的标准偏差参数。P6使用参数数学公式实现标准偏差的平方,得到噪声信号的方差。参数P5代表功率谱密度曲线下方的面积,这个面积也是噪声信号的方差,只不过是从功率谱密度计算出来的。两种方法计算出来的方差值基本上是相等的,相差不到0.1%。

在频域中分析随机过程可以帮助你细分不同频率产生的噪声。本例中的面积测量可以覆盖整个FFT范围。你也可以使用测量选通门将测量限制在指定频带内,以判断特定频谱区域的噪声情况。在带宽等于FFT有效噪声带宽的情况下,示波器的光标可以读取特定频率处的功率谱密度。

4、派生参数

峰值因数,即波形峰值与均方根值之比,可以帮助你确定处理信号峰值变化所需的动态范围。虽然我们使用的示波器没有双极性“峰值”参数,但我们借助通道1中信号的绝对值可以很容易地创建一个。这样可以将负值“翻转”进波形的正值区域,进而让你使用最大值参数读取每次采集数据的最大正峰或负峰值。注意,这种方法是因为信号有零均值才起作用的。然后我们就可以使用参数数学公式计算峰值与均方根值之比的峰值因数。图7显示了这种测量。

“图7:测量峰值与均方根值之比的信号峰值因数。所测信号的绝对值使得所有峰值呈单极性,因此最大值参数返回的就是每次采集数据的最大峰值。参数数学公式可计算出最大值与标准偏差(均方根)值之比值,即峰值因数。”
图7:测量峰值与均方根值之比的信号峰值因数。所测信号的绝对值使得所有峰值呈单极性,因此最大值参数返回的就是每次采集数据的最大峰值。参数数学公式可计算出最大值与标准偏差(均方根)值之比值,即峰值因数。

最上边的波形是带宽受限的噪声信号。参数P2是噪声波形的标准偏差(交流耦合的均方根值)。下面一个波形显示了噪声波形的绝对值,这个波形是单极性的。源波形中的最高正负峰值已成为最高绝对峰值。使用最大值参数得到这个参数。

参数P5是绝对波形曲线的最大值。参数P6使用参数数学公式计算每次采集数据的峰值因数,即P5(max)与P2(rms)的比值。P6参数统计显示了当前值、均值、最小最大标准偏差以及峰值因数测量值总数。在本例所示超过15000次采集中,峰值因数从3.68变到6.53,平均值为4.38。

从上往下第三张图是峰值因数的趋势曲线,按测量顺序显示了每一次测量的峰值因数。趋势图下方是峰值因数的柱状图。从图中可以看出,峰值因数测量结果大多在均值附近,仅在均值的最右边有少量的高值测量结果。

5、总结

你可以使用现代数字示波器中的时域、频域和统计域工具量化诸如噪声和抖动等随机过程,并通过相关的测量参数进行增强。包括均值、标准偏差和范围在内的统计参数可以帮助你了解被测的过程。参数数学公式可以推导出派生参数,比如方差和峰值因数。

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围观 50

作者:Foroohar Foroozan

想象未来几十年后的世界,您的孙子们可能不知道医院这个词,所有健康信息都是通过传感器远程记录和监测。想象您的家里配备了不同的传感器来测量空气质量、温度、噪声、光照和气压,并且根据您的个人健康信息,系统调整相关环境参数以优化您的家居环境。在实现美好未来的道路上,ADI公司处于一个独特的有利位置,通过提供相互补充的传感器、软件和算法来增加其在数字健康市场的份额。

心率(HR)监测是许多现有可穿戴产品和临床设备的关键特性。这些设备一般测量光电容积脉搏波(PPG)信号,为获得该信号,须利用LED照射人体皮肤,然后用光电二极管测量血流引起的反射光强度变化。PPG信号形态与动脉血压(ABP)波形相似,这使得该信号成为受科学界欢迎的非侵入性心率监测工具。PPG信号的周期性与心脏节律相对应。因此,可以根据PPG信号估算心率。然而,受血液灌流不良、环境光线以及最重要的运动伪像(MA) 1的影响,心率估算性能会降低。业界已提出许多信号处理技术来消除MA噪声,包括ADI公司的运动抑制和频率跟踪算法,通过使用一个靠近PPG传感器放置的三轴加速度传感器来实现。当没有运动时,最好能有一个按需算法来向跟踪算法提供快速且更精确的心率估算。本文改造了多信号分类(MUSIC)频率估计算法,以利用ADI医疗健康手表平台,根据手腕上的PPG信号实现高精度按需心率估算,图1所示为其框图。该图的细节将在后面的内容中说明。

“图1.
图1. 利用腕上PPG信号的基于MUSIC的按需心率估计算法

ADI医疗健康手表提供的PPG信号概述

当LED发光时,血液和组织会吸收不同数量的光子,导致光电检测器检测到不同的结果。光电检测器测量血液脉动的变化并输出一个电流,该电流随后经放大和滤波以供进一步分析。 图2a显示了一个由交流(ac)和直流(dc)分量组成的一般PPG信号。PPG波形的直流分量检测组织、骨骼和肌肉反射的光信号,以及动脉和静脉血液的平均血容量。交流分量则表示心动周期的收缩期和舒张期之间发生的血容量变化,交流分量的基频取决于心率。图2b是来自 ADPD107 手表的PPG信号,这在之前的《模拟对话》文章中已介绍过。ADI多感知手表的目标是测量人体手腕上的多项生命体征。ADI手表有PPG、心电图(ECG)、皮肤电活动(EDA)、加速度(ACC)和温度传感器。本文仅关注PPG和ACC传感器。

现在我们仔细看看PPG和ABP波形的相似之处。ABP波形是由于左心室射出血液造成的。主压力沿全身血管网流动并到达多个部位,动脉阻力和顺应性的显著变化引起反射。第一个部位是胸主动脉和腹主动脉之间的接合处,其引起第一次反射,通常称为收缩晚期波。第二个反射部位是腹主动脉和髂总动脉之间的接合处。主波被再次反射回来,产生一个很小的下降,称为重搏切迹,这可以在第一次和第二次反射之间观察到。还有其他较小的反射,这些反射在PPG信号中被平滑掉2。本文的重点是心率估计,其仅取决于PPG信号的周期性,此算法不考虑PPG的确切形态。

“图2a.
图2a. 含交流和直流部分的典型PPG信号

“图2b.
图2b. ADI医疗保健手表PPG信号

PPG信号预处理

PPG信号易受周边组织的不良血液灌流和运动伪像的影响是众所周知的1。为将这些因素的影响降至最小,以免干扰随后的PPG分析和心率估计,须有一个预处理阶段。需要一个带通滤波器来消除PPG信号的高频成分(如电源)和低频成分(如毛细血管密度和静脉血容量的变化、温度变化等等)。图3a显示了滤波之后的PPG信号。使用一组信号质量指标来找到适合于按需算法的PPG信号第一个窗口。第一次检查涉及ACC数据和PPG信号,以确定是否能检测到一段无运动的数据,然后衡量其他信号质量指标。如果三个方向上存在高于ACC数据绝对值的特定阈值的运动,则按需算法会拒绝根据这样的数据窗口进行估计。下一信号质量检查是基于数据段特征的某种自相关。图3b显示了经滤波的PPG信号的一个自相关例子。可接受信号段的自相关表现出如下特性:具有至少一个局部峰值,并且对应于最高可能心率的峰值不超过某一数量;局部峰值从高到低递减,间隔时间递增;以及其他一些特性。仅计算与有意义的心率(位于30 bpm到220 bpm范围内)相对应的间隔时间的自相关。

当有足够的数据段连续通过质量检查时,算法的第二阶段就会使用基于MUSIC的算法算出准确的心率。

“图3a.
图3a. 经过带通滤波的图1b中PPG信号

“图3b.
图3b. 图2a中信号图的自相关

基于MUSIC的按需心率估计算法

MUSIC是一种基于子空间的方法,使用谐波信号模型,可以高精度地估算频率3。对于受到噪声破坏的PPG信号,傅立叶变换(FT)可能表现不佳,因为我们需要的是高分辨率心率估计算法。此外,FT将时域噪声均匀分布到整个频域中,限制了估算的确定性。使用FT很难在较大峰值附近观察到较小峰值4。因此,在本研究中,我们使用基于MUSIC的算法进行心率的频率估计。MUSIC背后的关键思想是噪声子空间与信号子空间正交,所以噪声子空间的零点会指示信号频率。下面的步骤是这种心率估计算法的总结:

1、从数据中删除平均和线性趋势
2、计算数据的协方差矩阵
3、对协方差矩阵应用奇异值分解(SVD)
4、计算信号子空间阶数
5、形成信号或噪声子空间的伪谱
6、找出MUSIC伪谱的峰值作为心率估计值

MUSIC必须应用奇异值分解,并且必须在整个频率范围内搜索频谱峰值。我们来看一些数学算式,以使上述步骤更清晰。假设经滤波的PPG信号有一个长度为m的窗口,表示为xm且m≤L(其中L为给定窗口中经滤波PPG信号的总样本数)。那么,第一步是形成样本协方差矩阵,如下所示:

“”

然后对样本协方差矩阵应用SVD,如下所示:

“”

其中,U为协方差矩阵的左特征向量,Λ为特征值的对角矩阵,V为右特征向量。下标s和n分别代表信号和噪声子空间。正如之前提到的,使用信号已经通过信号质量检查阶段的先备知识,对基于MUSIC的算法进行修改以用于心率估计,因此预处理步骤之后,信号中唯一存在的频率成分是心率频率。接下来形成信号和噪声子空间,假设模型阶数只包含一个单音,如下所示:

“”

其中p = 2为模型数。仅考虑有意义心率限值内的频率。这会大 大减少计算量,使嵌入式算法的实时实现成为可能。搜索频率 向量定义为:

“”

其中,k为心率目标频率范围内的频点,L为xm(t)中数据的窗口长度。然后,下面的伪谱使用噪声子空间特征向量找出MUSIC的峰值,如下所示。

“”

这里使用伪谱一词,是因为它表明所研究信号中存在正弦分量,但它不是一个真正的功率谱密度。图4显示了基于MUSIC的算法处理5秒数据窗口得到的示例结果,在1.96 Hz处有一个很陡的峰值,换算为心率是117.6 bpm。

“图4.
图4. 使用PPG数据的基于MUSIC估计的一个示例

基于MUSIC的按需心率估计算法的结果

我们已经在一个包含1289个测试案例(data1)的数据集上测试了该算法的性能,并且在数据开始时,测试对象被要求静止。表1给出了基于MUSIC算法的结果,并指出估计的心率是否在参考(ECG)的2 bpm和5 bpm精度范围内,以及估计时间的第50百分位数(中值)和第75百分位数。表1中的第二行显示了对于一个包含298个测试案例(data2)的数据集,存在周期性运动(如步行、慢跑、跑步)时该算法的性能。通过检测运动,如果任一数据被视为不可靠而遭到拒绝,或者是认为不受运动影响而精确估算得到心率,则认为该算法是成功的。在内存使用方面,假设缓冲区大小为500(即100 Hz时为5秒),对于目标频率范围(30 bpm至220 bpm),所需总内存约为3.4 kB,每次调用花费2.83周期。

表1. 基于MUSIC的按需心率估计算法的性能数值

“”

结语

基于MUSIC的按需算法是ADI公司医疗保健业务部门生命体征监测小组提出的众多算法之一。在我们医疗健康手表中使用的按需算法与这里讨论的基于MUSIC的方法不同,前者的计算成本较低。ADI公司为传感器(嵌入式)和边缘节点提供软件和算法功能,使其从数据中获取有价值的信息,仅将最重要的数据发送到云端,让我们的客户和合作伙伴可以在本地做出决策。我们选择应用的标准是,其成果对于我们的客户来说非常重要,并且我们拥有独特的测量专业技术。本文只是对ADI公司研发的算法的简单介绍。凭借我们在传感器设计方面的现有专业知识,以及我们在生物医学算法开发(包括嵌入式和云计算)方面的努力,ADI公司将拥有独特的优势来为全球医疗健康市场提供最先进的算法和软件。

参考电路

1 Tamura, Toshiyo Tamura, Yuka Maeda, Masaki Sekine, 和 Masaki Yoshida. “可穿戴光电容积脉搏波传感器——过去和现在.” Electronics, 第3卷第2期,2014年。

2 R. Couceiro, P. Carvalho, R.P. Paiya, J. Henriques, I. Quintal, M. Antunes, J. Muehlsteff, C. Eickholt, C. Brinkmeyer, M. Kelm, 和 C. Meyer. “根据手指光电血管容积图的多高斯拟合评估心血管功能.” Physiological Measurement,第36卷第9期,2015年。

3 Petre Stoica and Randolph L. Moses. 信号频谱分析. Pearson Prentice Hall,2005年

4Steven W. Smith。面向科学家和工程师的数字信号处理指南。California Technical Publishing,1997年。

致谢

作者感谢ADI公司的Sefa Demirtas、Bob Adams和Tony Akl对此算法的开发所提供的帮助和宝贵意见。

作者

Foroohar Foroozan是信号处理科学家。Foroohar于2015年8月加入ADI公司,领导医疗健康业务部面向生命体征和家用监测系统的多伦多算法团队。同时,她就护理点超声成像系统与ADI成像团队展开合作。加入ADI之前,她担任加拿大Geotech Ltd.的研发科学家,致力于新一代机载电磁地球物理测量系统的智能滤波。她是Sunnybrook Research Institute博士后,在2012年至2013年期间致力于脑血管病图的3D、超高分辨率超声成像,正在申请PCT专利。她于2011年获得加拿大多伦多约克大学-拉松德工学院计算机科学博士学位。她对生物医学系统中的信号处理和算法感兴趣,主要致力于生命体征系统和生物医学成像。她是安省专业工程师协会(P.Eng.)成员和IEEE高级成员。

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围观 11

相位噪声的含义

相位噪声是对信号时序变化的另一种测量方式,其结果在频率域内显示。用一个振荡器信号来解释相位噪声。如果没有相位噪声,那么振荡器的整个功率都应集中在频率f=fo处。但相位噪声的出现将振荡器的一部分功率扩展到相邻的频率中去,产生了边带(sideband)。从下图中可以看出,在离中心频率一定合理距离的偏移频率处,边带功率滚降到1/fm,fm是该频率偏离中心频率的差值。

相位噪声通常定义为在某一给定偏移频率处的dBc/Hz值,其中,dBc是以dB为单位的该频率处功率与总功率的比值。一个振荡器在某一偏移频率处的相位噪声定义为在该频率处1Hz带宽内的信号功率与信号的总功率比值。

图1  相位噪声的含义
图1 相位噪声的含义

主要的相位噪声测量方法

1.直接频谱测量方法s

这是最简单最经典的相位测量技术。如图 2 所示,将被测件 (DUT) 的信号输入频谱仪/信号分析仪,将信号分析仪调谐到被测件频率,直接测量振荡器的功率谱密度 (f)。由于该方法对频谱密度的测量是在存在载波的情况下进行,因此频谱仪/信号分析仪的动态范围对测量范围有较大影响。

虽然不太适合测量非常靠近载波的相位噪声,但该方法可以非常方便地快速测定具有相对高噪声的信号源质量。测量在满足以下条件时有效:

● 频谱仪/信号分析仪在相关偏置时的本身 SSB 相位噪声必须低于被测件噪声。

● 由于频谱仪/信号分析仪测量总体噪声功率,不会区分调幅噪声与相位噪声,被测件的调幅噪声必须远低于相位噪声 (通常 10 dB 即可)。

图2  直接频谱测量方法
图2 直接频谱测量方法

2.鉴相器测量方法

如果需要分离相位噪声和调幅噪声,则需使用鉴相器法进行相位噪声的测量。图 3 描述了鉴相器技术的基础概念。鉴相器可将两个输入信号的相位差转换为鉴相器输出端的电压。相位差设置为 90° (正交) 时,电压输出为 0 V。偏离正交的任何相位波动都将引发输出端的电压变化。

图3  鉴相器工作原理
图3 鉴相器工作原理

目前已根据鉴相器原理开发了多种测量方法。其中,参考信号源/PLL (锁相环) 和鉴频器方法应用最广泛。

3. 参考信号源/PLL 测量方法s

如图 4 所示,该方法是将双平衡混频器用作鉴相器。两个信号源,分别来自被测件和参考信号源,为混频器提供输入。调整参考信号源与被测件具有相同的载波频率 (fc),并设为额定相位正交 (异相 90°)。混频器的相加频率 (2fc) 将由低通滤波器 (LPF) 滤出,混频器的相减差频为 0 Hz (dc),平均电压输出为 0 V。

该直流信号带有交流电压波动,该波动与两个输入信号的合成 (总 rms)噪声成比例。为了精确测量被测件信号的相位噪声,参考信号源的相位噪声应该低至可忽略水平,或者得到了很好的表征。基带信号通常会在放大后输入基带频谱分析仪。

参考信号源/PLL 方法提供最佳的总体灵敏度和最广泛的测量范围 (例如 0.01 Hz 至 100 MHz 的频率偏置范围)。另外,该方法对 AM 噪声不敏感,并可以跟踪漂移信号源。但是该方法需要一个干净的可电子调谐参考信号源,而且在测量高漂移率信号源时需要参考信号源必须具有宽的调谐范围。

图4  参考信号源 /PLL 技术 - 基础方框图
图4 参考信号源 /PLL 技术 - 基础方框图

4. 鉴频器测量方法

鉴频器方法是鉴相技术的一种,该方法无需使用参考信号源。鉴频器方法降低了测量灵敏度 (尤其在偏置频率靠近载波时),但是当被测件是更大的噪声源,具有高电平、低速率的相位噪声或者邻近载频的杂散边带较高时,会影响鉴相器 PLL 技术的测量,鉴频器方法则非常适用。

图 5 显示的是使用延迟线的鉴频器方法。将被测件信号经功分器分到两路通道,一路信号相对于另一路信号产生延迟。延迟线将频率起伏转换为相位起伏。调整延迟线或移相器从而确保混频器 (鉴相器) 的两个输入相位正交。之后,鉴相器将相位波动转换为电压波动,电压波动以频率噪声形式在基带频谱分析仪上显示。随后,频率噪声转换为被测件的相位噪声读数。

图5  鉴频器方法 - 基础方框图
图5 鉴频器方法 - 基础方框图

较长的延迟线可提高灵敏度,但延迟线的插入损耗可能超过信号源功率,并且无法进一步改进。并且,较长延迟线会限制可测得的最大偏置频率。因此该方法非常适用于自由振荡信号源,例如 LC 振荡器或晶体振荡器。

5. 外差 (数字) 鉴相器测量方法

外差 (数字) 鉴相器方法是模拟延迟线鉴相器方法的修改版,可以测量相对较大相位噪声的不稳定信号源和振荡器。相比 PLL 方法,该方法具有更宽的相位噪声测量范围,在任何频率上都不需要重新连接模拟延迟线。与上述鉴频器方法不同,其相位噪声测量的总体动态范围会受到 LNA 和 ADC 的限制。后面会介绍如何通过互相关技术来改善这一限制。

将延迟时间设置为零时,外差 (数字) 鉴相器方法还可以提供方便且精确的 AM 噪声测量,其设置和射频端口连接与进行相位噪声测量时相同。

该方法仅适用于 E5052B 信号源分析仪。参见图 6 显示的功能方框图。

图
图 6 外差 (数字) 鉴相器方法的方框图

6. 双通道互相关测量技术

该技术结合了两个重复的单通道参考信号源 /PLL 系统,将各个通道的输出端之间进行互相关操作 (如图 7 所示)。

图7   双通道互相关技术结合两个鉴相器
图7 双通道互相关技术结合两个鉴相器

通过每个通道的被测件噪声是相干的且不会受到互相关的影响; 但是每个通道的内部产生的噪声不相干,并且通过互相关操作以 M½ (M 是互相关级数) 速率的降低。这可以表示为:

Nmeas = NDUT + (N1 + N2)/M1/2

其中,Nmeas 是显示屏显示的测得总噪声,NDUT 是被测件噪声,N1 和 N2 分别是通道 1 和通道 2 的内部噪声,M 是互相关级数。

双通道互相关技术无需非常好的硬件性能,便可实现出色的测量灵敏度。但是,互相关级数增加会影响到测量速度。

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围观 10

在运放选型中,一些常用的指标选择比较简单,例如根据自身供电选择供电电源、根据增益及带宽选择增益带宽积(GBW)、根据精度要求选择等效输入噪声电压/电流、根据空间选择封装等等。

但是在一些小信号放大电路中,还有一些比较精细的指标需要仔细分析对比。

1. 几种相关指标的定义

这里主要说说运放的失调电压、失调电流、偏置电流、输入阻抗以及输入级(定义主要参考ADI技术资料MT-035、MT-037、MT-038等)。

1.1. 失调电压

理想状态下,如果运算放大器的两个输入端电压完全相同,输出应为0 V。实际上,还必须在输入端施加小差分电压,强制输出达到0。该电压称为输入失调电压Vos。输入失调电压可以看成是电压源Vos,与运算放大器的反相输入端串联,如图所示。

“”

1.2. 偏置电流

理想情况下,并无电流进入运算放大器的输入端。而实际操作中,始终存在两个输入偏置电流,即IB+和IB-。

“”

1.3. 失调电流

“输入失调电流”IOS是IB–和IB+之差,即IOS = IB+ − IB–。

1.4. 输入阻抗

电压反馈(VFB)运算放大器通常具有差模和共模两种指定的输入阻抗。

“”

共模输入阻抗数据手册中的规格参数(Zcm+和Zcm–)是从任一输入至地(不是从两者至地)的阻抗。差分输入阻抗(Zdi­)是指两个输入之间的阻抗。这些阻抗通常是电阻性的,且阻值较高(105至1012 Ω),还有一些并联电容(通常为几pF,有时可高达20至25 pF)。大多数运算放大器电路中,反相输入阻抗都通过负反馈降至极低值,起重要作用的只有Zcm+和Zdiff。

1.5. 运放输入级

双极性晶体管(BJT)输入,输入级使用双极性晶体管,其特性如下:

“”

场效应晶体管(FET)输入,输入级场效应管,其特性如下:

“”

2.选型分析

当进行小信号放大(电压信号)时,必须根据信号源的幅值和输出阻抗来进行选型。

2.1. 失调电压Vos

在某些应用中,信号源的幅值很低,例如1mV。而很多运放的失调电压接近大于1mV,例如将1mV信号源输入到-1mv失调电压的运放,放大后的输出信号0V。

因此,当信号源幅值很低,必须首先考虑运放的Vos。如果Vos跟被测信号幅度差不多,甚至更大,则放大后的信号幅值会远远偏离预期。虽然这个偏置可以通过调零电路来调,但是Vos较大运放,Vos随温度的漂移也会较大,还是会给测量精度带来很大影响。

此时,选择BJT输入级比较合适(Vos相对小)。

2.2. 输入阻抗

理想运放输入阻抗无穷大,信号源可以完全被放大器放大。但是实际运放的输入阻抗是个有限值。对于电压反馈型运入,输入阻抗主要由输入级的决定,一般BJT输入级的运放。的共模输入阻抗会大于40MΩ。差模输入阻抗大于200GΩ。对于JFET和CMOS输入级的运放,输入阻抗要大的多。

如果信号源的阻抗较大,例如1MΩ,运放输入阻抗是40MΩ,那么由于分压作用,实际输入到运放的信号幅度降低约2.5%。

因此,当信号源输出阻抗较大,选择FET输入级运放效果会更好;如果信号源输出阻抗较小,那么选BJT或者FET输入级都没问题。

2.3. Ib、Ios

当信号源输出阻抗较大,会存在较大的热噪声,偏置电流流经信号源的输出阻抗会产生电压噪声。

“”

所以当信号源输出阻抗较大,选择FET输入级比较合适。

2.4. 确立主要矛盾

在实际的设计中,某些时候不同的项目适合的运放会产生冲突,例如小幅度大输出阻抗的信号源,考虑Vos需要选择BJT运放,考虑输入阻抗和Ib需要选择FET,那么就必须清楚哪个因素占主导地位,综合考虑实现总的误差最小。

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围观 7

作者:德州仪器 (TI) 模拟应用工程师Sanjay Pithadia 和 高级模拟应用工程师Shridhar More

本文是系列文章(共2部分)的第2部分。第1部分(见参考1)为你解释了一些典型专业术语和接地层,并介绍了分区方法。第2部分将讨论分割接地层的利弊。另外,文章还将解释多转换器和多板系统接地。

如果分割接地层并且线路穿过分割线(如图1所示),那么电流返回通路在哪里呢?假设两个层在某处连接(通过在一个单独点),则返回电流必在该大型环路内流动。大型环路内的高频电流产生辐射和高接地电感。大型环路内的低电平模拟电流易受干扰的影响。

“”
图1 穿过接地层分割的信号线迹

如果两个层仅在电源处连接(图2),则返回电流被迫直接流回电源接地,这是一个真正的大型环路!另外,不幸的是,不同RF电势下使用长线缆连接的模拟和数字接地层,形成一个非常有效的偶极天线。

“”
图2 在电源位置连接的分割层

首选使用一个持续接地层以避免这种长接地环路,但是如果使用分割接地层绝对必要并且线路穿过分割线,则各层应首先在一个位置连接,以形成一个返回电流的桥(图3)。对所有线路进行布局,让它们穿过该桥,直接在每条线路下面提供一条返回通路,从而产生一个非常小的环路面积。这种方法的典型应用是权衡何时使用高分辨率(≥20-bit)Σ-Δ模数转换器(ADC)。

“”
图3 线路接地层桥接

通过分割层传输信号的其它方法是使用光隔离器(通过光)、变压器(通过磁场)或者一个真正的差动信号(信号沿一条线路传输,然后在另一条线路上返回,无需返回电流接地)。

一种更好的方法是“分区”。仅使用一个接地层始终为首选,把PCB划分为模拟部分和数字部分(参见图4b)。模拟信号必须安排在板的模拟部分,而数字信号必须安排在板的数字部分,并且所有层上都有这两个部分。在这种情况下,数字返回电流不会存在于接地层的模拟部分,并且保持在数字信号线迹下面。图4比较了一个分割层和一个分区层。

“”
图4 接地层布局

 
分区方法存在的唯一问题是,当模拟信号错误地安排在板的数字部分(反之亦然)时则难以有效,如图5所示。因此,对于所有PCB布局而言,重点是使用一个单个接地层,把它划分为模拟和数字部分,然后运用信号安排原则。

“”
图5 错误安排的数字信号线迹

在一块单独板上使用多个数据转换器时的接地

大多数数据转换器的产品说明书都说明了相对于单一PCB的接地方法,并且通常为制造厂商自己的评估板。一般而言,我们建议把PCB接地层分割为一个模拟层和一个数字层。我们还建议,把转换器的模拟接地(AGND)和数字接地(DGND)引脚放在一起,并且在同一个点连接模拟和数字接地层,如图6所示。最终,在混合信号器件处形成系统的星形接地点。正如第1部分文章介绍的那样,测量出与该特定点相关的电路所有电压,而不仅仅只是一些让测量探针跳动的未定义接地。

“”
图6 单块PCB上的接地混合信号器件

  
所有有噪数字电流均通过数字电源流至数字接地层,然后再返回至数字电源,以此来隔离于电路板的敏感模拟部分。模拟和数字接地层在数据转换器处交汇在一起时,形成系统的星形接地点。这种方法在使用单独PCB和单个数据转换器的简易系统中一般有效,但是它并不是很适合于多卡和多转换器系统。如果不同PCB上有几个数据转换器,这种方法便无效,因为模拟和数字接地系统在PCB上每个转换器处都交汇在一起,形成许多接地环路。

假设一个设计人员正在使用一块拥有3个DAC和2个ADC的8层PCB。为了最小化噪声,模拟和数字接地层应固定连接在所有ADC和数模转换器(DAC)芯片下面。AGND和DGND引脚应相互连接,并且连接模拟接地层,同时模拟和数字接地层应单独连接回电源。电源应进入数字分区电路板,并直接给数字电路供电,然后经过滤波或者调节以后给模拟电路供电。这样,应仅把数字接地层连接回电源。图7显示了经过分区的模拟和数字接地层,以及多数据转换器PCB的电源连接。

“”
图7 多ADC的PCB电源与接地

多卡混合信号系统

设计人员开始把单卡接地概念应用于多卡系统,这增加了人们对于混合信号接地的困惑。在一些不同PCB上具有数个数据转换器的系统内,模拟和数字接地层在几个点连接,带来形成接地环路的可能性,并且使单点星形接地系统无法实现。

最小化多卡系统内接地阻抗的最佳方法是,把一个母板PCB用作两个卡之间互连的底层。这样便可为底板提供一个连续的接地层。PCB连接器至少有30%到40%的引脚用于接地。这些引脚应连接底层母板的接地层。完成整个系统接地方案,共有两种可能性:

  1、 底层的接地层在无数个点连接底板接地,让各种接地电流返回通路四散。它一般指的是多点接地系统(图8)。

  2、 接地层连接至单个星形接地点(通常在电源处)。

  3、 第一种方法常常用于全数字系统,但也可用于混合信号系统,前提条件是数字电路的接地电流足够低,并且散布于一个较大的面积上。

PCB、底层和最终的底板都维持低接地阻抗。但是,接地连接金属片底板的电气触点应具有良好的状态,这一点很关键。它要求自动攻丝金属片螺钉或者咬式垫圈。阳极氧化铝用于底板材料时需特别小心,因为其表面会起到一个隔离器的作用。

“”
图8 多卡系统的接地方案

第二种方法即单点星形接地,通常用于具有单独模拟和数字接地系统的高速混合信号系统。

相关链接:连载:混合信号系统接地揭秘(一)

围观 10

所有信号处理系统都要求混合信号器件,例如:模数转换器(ADC)或数模转换器 (DAC) 等。对于宽动态范围模拟信号处理的需求,要求必须使用高性能ADC和DAC。要在高噪声数字环境下保持性能,依赖于优秀的电路设计方法,例如:正确的信号布局、去耦和接地等。
  
毫无疑问,在系统设计中,接地是我们讨论最多的话题之一。尽管基本概念十分简单,但实现起来却并不容易。就线性系统而言,接地是信号建立的参考基准,而不幸的是,它也成为单极电源系统中电源电流的返回通路。错误的接地方法会降低高精度线性系统的性能。没有哪一种教程能够保证一定能获得理想的结果,但我们可以注意几个容易引发问题的方面。
  
本系列文章将为您详细介绍混合信号系统使用的一些接地方法,它共分两个部分,本文为第一部分。第1部分为您解释说明一些常用的术语和接地层,并介绍划分方法。第2部分探讨分割接地层的一些方法,包括每种方法的利弊。它还介绍了使用多转换器和多板的一些系统的接地情况。
  
在系统设计中经常使用的一个术语是星形接地。这个术语的意思是,某个电路中所有电压均指一个单接地点,也即星形接地点。它的关键特性是,在接地网络中,对特定点的所有电压进行测量,而不仅仅是某个非定义接地(不管探针定在何处)。特别需要指出,这种方法实现起来很困难。例如,在一个星形接地系统中,为了最小化信号相互作用和高阻抗信号或接地通路产生的效应而拟定出所有信号通路,会带来实现问题。当给电路添加电源时,它们会增加非理想接地通路,或者其现有接地通路中电源电流较强或噪声较多,以致于破坏信号传输。

 

“”
图1:数据转换器中的AGND和DGND引脚
 

混合信号器件中AGND和DGND引脚解释

数字和模拟设计工程师们往往会从各个不同角度来查看混合信号器件,但每名使用混合信号器件的工程师都会注意到模拟接地 (AGND) 和数字接地 (DGND)。对于如何处理这些接地,许多人感到困惑,而多数困惑均来自于如何标示ADC接地引脚。注意,引脚名称AGND和DGND是指该组件的内部情况,并不必然表明你应该在外部如何操作。数据转换器数据表通常建议将模拟和数字接地捆绑在器件上。但是,设计人员有时想而有时又不想让数据转换器成为系统的星形接地点。我们应该如何做呢?
  
如图1所示,混合信号IC内的接地一般会保持独立,目的是避免数字信号耦合进入模拟电路。对于连接芯片上焊垫至封装引脚相关的内部电感和电阻(相比电感可忽略不计),IC设计人员没有一点办法。快速变化的数字电流在数字电路中产生电压(di/dt),其不可避免地会通过杂散电容耦合进入模拟电路。
  
若不考虑这类耦合,IC可以工作得很好。但是,为了防止进一步的耦合,我们应使用最短的导线,从外部把AGND和DGND引脚接合到一起,连接同一低阻抗接地层。DGND连接中任何一点外部阻抗都会引起更多的数字噪声,而其反过来又会通过杂散电容让更多的数字噪声耦合进入模拟电路。
  
模拟还是数字接地层,又或者两者兼有?

为什么需要接地层?如果一条总线线路用作接地而非层,则必须进行计算才能确定总线线路的压降,因为大多数逻辑转换等效频率的阻抗。这种压降造成系统最终精确度误差。要实现一个接地层,双面PCB的一面由连续铜材料组成,用作接地。由于使用大面积、扁平化导体方式,大量金属材料实现最低程度电阻和电感。
  
接地层起到一个低阻抗返回通路的作用,旨在去耦快速数字逻辑引起的高频电流。另外,它还最小化了电磁干扰/射频干扰(EMI/RFI)产生的辐射。由于接地层的屏蔽行为,电路对于外部EMI/RFI的敏感性降低了。接地层还允许高速数字或者模拟信号通过传输线路(微波传输带或者带状线)方法进行传输,其要求受控阻抗。
  
如前所述,AGND和DGND引脚必须在器件上接合到一起。如果必须隔离模拟和数字接地,那么我们应该将它们连接到模拟接地层、数字接地层还是两个都连呢?
  
请记住,数据转换器是模拟的!因此,AGND和DGND引脚应连接至模拟接地层。如果它们被连接至数字接地层,则模拟输入信号将出现数字噪声,因为它可能为单端,并且参考模拟接地层。连接这两个引脚至静态模拟接地层,会把少量数字噪声注入其中,并降低输出逻辑的噪声余量。这是因为,输出逻辑现在参考模拟接地层,并且所有其它逻辑均参考数字接地层。但是,这些电流应为非常小,并且通过确保转换器输出不驱动大扇出得到最小化。
  
可能的情况是,设计使用器件的数字电流可低可高。两种情况的接地方案并不相同。一般而言,数据转换器常常被看作为低电流器件(例如:闪存ADC)。但是,今天的一些拥有片上模拟功能的数据转换器,正变得越来越数字化。随着数字电路的增加,数字电流和噪声也随之增加。例如,∑-△ADC包含一个复杂的数字滤波器,其相当大地增加了器件的数字电流。
  
低数字电流数据转换器接地
  
正如我们讲的那样,数据转换器(或者任何混合信号器件)均为模拟。在所有系统中,模拟信号层都位于所有模拟电路和混合信号器件放置的地方。同样,数字信号层拥有所有数字数据处理电路。模拟与数字接地层应有同各自信号层相同的尺寸和形状。
  
图2概述了低数字电流混合信号器件接地的方法。该模拟接地层没有被损坏,因为小数字瞬态电流存在于本地去耦电容器VDig和DGND(绿线)之间的小型环路中。图2还显示了一个位于模拟和数字电源之间的滤波器。共有两类铁氧体磁珠:高Q谐振磁珠和低Q非谐振磁珠。低Q磁珠常用于电源滤波,其与电源连接点串联。

“”
图2:低内部数字电流数据转换器接地

  
高数字电流数据转换器接地
  
图2所示电路靠VDig和DGND之间的去耦电容器来使数字瞬态电流隔离在小环路中。但是,如果数字电流足够大,并且有组件在DC或者低频下,则该去耦电容器可能必须非常的大,而这是不实际的。VDig和DGND之间环路之外的任何数字电流,必须流经模拟接地层。这可能会降低性能,特别是在高分辨率系统中更是如此。图3显示了一种适用于强数字电流混合信号器件的替代接地方法。数据转换器的AGND引脚连接至模拟接地层,而DGND引脚则连接至数字接地层。数字电流也隔离于模拟接地层,但两个接地层之间的噪声却直接作用于器件的AGND和DGND引脚之间。模拟和数字电路必须获得有效的隔离。AGND和DGND引脚之间的噪声必须不能过大,否则会降低内部噪声余量,或者引起内部模拟电路损坏。
  
模拟和数字接地层的连接
  
图2和3显示了连接模拟和数字接地层的备选背靠背肖特基二极管。该肖特基二极管防止大DC电压或者低频电压尖峰在两个层之间形成。如果其超出0.3V,这些电压可能会损坏混合信号IC,因为它们直接出现在AGND和DGND引脚之间。
  
作为一种背靠背肖特基二极管的替代方法,铁氧体磁珠可以在两个层之间提供一个DC连接,并在数兆赫兹频率时对其进行隔离,此时铁氧体磁珠电阻增加。这种方法可防止IC受到AGND和DGND之间DC电压的损坏,但是这种铁氧体磁珠提供的DC连接会引入讨厌的DC接地环路,其可能不适合于高分辨率系统。只要在高数字电流IC特殊情况下AGND和DGND引脚被隔离,则在必要时应将它们连接在一起。
  
跳线和/或带选项允许我们尝试两种方法,以验证哪种方法能够获得最佳总系统性能。
  
隔离还是分割:哪一种对接地层重要?
  
一个常见问题是如何隔离接地,以让模拟电路不干扰数字电路。众所周知,数字电路噪声较大。开关期间,逻辑饱和从其电流吸引强、快速电流尖峰。相反,模拟电路非常容易受到噪声的影响。模拟电路可能不会干扰数字逻辑。相反,可能的情况是,高速数字逻辑可能会干扰低级模拟电路。因此,这个问题应该是如何防止数字逻辑接地电流污染混合信号PCB上的低级模拟电路。我们首先想到的可能是分割接地层以将DGND隔离于AGND。尽管分割层方法可以起作用,但它存在许多问题—特别是在一些大型、复杂系统中。

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图3:高内部数字电流数据转换器接地
 
共有两条基本的电磁兼容(EMC)原则:

1、电流应返回其本地源,并且要尽可能地紧凑。否则,应构建环路天线。
2、一个系统应只有一个基准层,因为两个基准会形成一个偶极天线。
  
在EMC测试期间,当在接地或者电源层中某个插槽或者缝隙之间布置线路时可观察到大多数问题。由于这种布线会引起辐射和串扰问题,因此我们不建议使用。
  
重要的是,清楚地知道某个分割层中的接地电流如何流动以及流向何处。大多数设计人员只想到了信号电流流向何处,而忽略了返回电流的路径。高频信号有一个特点:沿阻抗(电感)最低的路径流动。路径电感由路径圈起的环路面积大小决定。电流返回源必须经过的面积越大,电感也就越大。最小电感路径直接靠近线路。因此,不管是哪一层—电源或者接地—返回电流都在与线路相邻的层上流动。电流在该层内会微有扩散,并且保持在线路下面。本质上而言,其精确分布情况与高斯曲线类似。图4表明,返回电流直接位于信号线路下面。这会形成一条最小阻抗的路径。

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图4:返回电流分布情况

  
返回路径的电流分布曲线为:

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IO为总信号电流(A),h为线路厚度(cm),而D为距离线路的长度(cm)。由该方程式我们可知道,数字接地电流不愿流经接地层的模拟部分,因此不会损坏模拟信号。
  
就基准层而言,过孔间隙部分不干扰返回电流路径,这一点很重要。如果存在障碍,返回电流便会另寻路径绕过它,如图5所示。但是,这种布线最有可能会引起电流的电磁场,干扰其它信号线路的磁场,从而产生串扰问题。另外,这种障碍会对它上面的线路阻抗产生不利影响,导致不连续以及EMI增加。
  
本系列文章第2部分将讨论分割接地层存在的利和弊,并说明多转换器和多板系统的接地方法。

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图5:有无插槽两种情况的返回电流

  
作者:Sanjay Pithadia,德州仪器 (TI) 模拟应用工程师
Shridhar More,高级模拟应用工程师
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